2 - Définitions des cyclides de Dupin reelles : classe particuliere des cyclides generales elle peuvent etre definies de diverses facons equivalentes :

    1 - Enveloppes des spheres tangentes à 3 spheres fixes, d'une infinite de facons.

    2 - Inverses du tore reel, qui est une cyclide de Dupin particuliere, ou du pseudo tore reel dans une inversion reelle. Le pseudo tore s'engendre de la meme facon qu'un tore (cercle tournant autour d'une droite de son plan) à cette différence pres que la droite coupe le cercle. Le pseudo tore a 1 ou 2 points doubles reels. Nous les appellerons desormais ces inverses de tore et pseudo tore, cyclides et pseudo cyclides de Dupin.

    3 - Cyclides ayant 4 points doubles parmi lesquels 2 peuvent etre reels.

    4 - Ce sont les seules surfaces de l'espace 3-d pour lesquelles la developpee se decompose en courbes qui ne sont autres que les coniques focales des generations exceptionnelles.(voir 3 ci dessous))

    On peut donc deduire de nombreuses proprietes des cyclides de celles du tore ou du pseudo tore par inversion.

    Le tore est un animal familier, notamment en topologie, dont on a construit diverses generalisations. Il est possible de peigner totalement un tore chevelu - ou muni d'un champ de vecteurs -, ce n'est pas le cas de la sphere qui aura toujours une singularite de peignage.

    Le pseudo tore est l'inverse d'un cone à base circulaire pour le centre d'inversion appartenant à l'axe du cone. Le cas limite de la tangente au cercle generateur correspond a l'inverse d'un cylindre dans les memes conditions.

5 - Enveloppes des spheres dont les centres decrivent une conique et qui passent par un point reel ou imaginaire de la focale de cette conique ou, plus generalement, qui sont orthogonales à une sphere quelconque doublement tangente à la conique.

3 - Quelques proprietes communes aux cyclides et pseudo cyclides de Dupin :

a - Les lignes de courbure principales sont deux familles de cercles orthogonaux. Sur le tore ou le pseudo tore ces lignes sont les meridiens et les paralleles. Les cyclides de Dupin possedent une representation parametrique rationnelle.

b - Ce sont des surfaces 'canal'. Enveloppe d'une famille de spheres a un parametre.

c - La developpée se compose de deux coniques focales. Ces focales sont dans deux plans orthogonaux, les sommets de l'une sont les foyers de l'autre et leurs excentricites sont inverses (e.e'=1). 

Les cyclides paraboliques : dans ce cas les coniques focales sont 2 paraboles (e=1).

Le cas du tore ou du pseudo tore est particulier : l'une des coniques est un cercle (e=0), le lieu des centres des cercles méridiens, l'autre est une droite (e infini): l'axe du tore.

e- Il existe sur une cyclide de Dupin 4 familles de cercles tous reels et il n'y a que ceux-là. Sur le tore par exemple il y a les meridiens, les paralleles et les cercles dit 'de Villarceau' (section par des plans bitangents au tore).

f- Une cyclide de Dupin a 2 plans de symetrie, ceux de chacune des coniques focales. Les sections de la cyclide par ces plans sont des cercles dits 'extremes'.

g- L'inverse d'une cyclide est une cyclide eventuellement parabolique si le centre d'inversion appartient a la cyclide.

4 - Quelques definitions :

Equation d'une sphere : Sp = x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d =0 ou (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Faisceaux quadratique de spheres : S1=0, S2=0 et S3=0 sont les equations de 3 spheres de l'espace euclidien a trois dimensions. Si t est un parametre l'equation du faisceau est

S1.t² + 2.S2.t + S3 = 0

Les spheres d'un faisceau quadratique sont centrees sur une conique reelle et orthogonales a une sphere fixe et reciproquement

Congruence bilineaire de spheres : S1=0, S2=0 et S3=0 sont les equations de 3 spheres de l'espace euclidien a trois dimensions. Si r, s et t sont 3 parametres l'equation du faisceau est

S1.r+ S2.s + S3.t = 0

Les spheres d'une congruence bilineraire sont centrees sur une quadrique reglee non developpable et ces spheres restent orthogonales a une sphere fixe et reciproquement.

Surfaces anallagmatiques : Surfaces invariantes globalement dans une ou plusieurs inversions. Elles se definissent aussi comme l'enveloppe des spheres dont le centre appartient a une surface reelle donnée, appelee deferente, et orthogonales a une sphere reelle fixe nommee directrice. Le centre de la directrice est le centre d'inversion. Les 2 points de contact de la sphere variable avec son enveloppe sont situes sur la perpendiculaire au plan tangent a la deferente correspondant issue du pole d'inversion (centre I de la directrice de rayon R). On a IM . IM' = R². Les cyclides generales sont invariantes dans 5 inversions. Pour ces cyclides les deferentes sont des quadriques.

Points cycliques du plan : points imaginaires a l'infini communs a tous les cercles du plan (en coordonnees homogenes I (i, -i, 0) et J (-i, i, 0)). Ce sont aussi les points d'ou l'on peut mener deux tangentes isotropes (droites isotropes y = ix, z=0et y = -ix, z=0 ou x²+y²+z² = 0). Deux cercles quelconques du plan se coupent en 4 points dont deux sont les points cycliques, les deux autres sont eventuellement reels. C'est une propriete caracteristique du cercle : courbe d'ordre 2 passant par I et J.

Foyers simples d'une courbe plane (Poncelet-Plucker): centres des cercles de rayon nul bitangents a cette courbe equivalent a la possibilite de mener depuis ce foyer 2 tangentes isotropes (imaginaires de pentes: +i et -i) a la courbe. Les foyers simples se conservent par inversion.

Foyers singuliers d'une courbe plane (Laguerre): centres des cercles de rayon nul bitangents a cette courbe en I et J equivalent a la possibilite de mener depuis ce foyer 2 asymptotes isotropes a la courbe (point de tangence rejete a l'infini). Le cercle a un foyer singulier au centre. Les foyers singuliers ne sont pas conserves par inversion.

Focales d'une surface algebrique : ce sont les lieux des centres M des spheres de rayon nul bitangentes a la surface. Cette definition est analogue a celle utilisee pour les foyers d'une courbe algebrique plane. Il existe des focales ordinaires et des focales singulieres comme pour les foyers.

Propriete : les focales singulieres d'une cyclide sont les focales ordinaires de la deferente.

5 - Generation des cyclides :

Comme cas particulier des cyclides generales celles de Dupin sont enveloppes des spheres centrees sur une quadrique et orthogonales a une sphere fixe qui peut etre imaginaire ou se reduire a un point. Ces spheres appartiennent a une congruence bilineaires à deux parametres. Il existe 5 manieres d'engendrer une cyclide de cette facon. Chacune d'entre elles est appelee 'generation '. La sphere variable appartient a une congruence bilineaire et touche son enveloppe en 2 points variables en general. Les cyclides generales sont invariantes dans 5 inversions.

Parmi ces generations normales 2 peuvent coincider. Dans ce cas la generation est dite exceptionnelle. C'est l'enveloppe des spheres centrees sur une conique (appelee par extension deferente qui est une courbe plane) et passant par un point fixe reel ou imaginaire de la conique focale associee ou orthogonale a un cercle fixe bi-tangent a la premiere conique. Cette conique peut degenerer en droite qui est alors un axe de revolution de la cyclide (tore ou pseudo-tore).

Les cyclides de Dupin presentent un mode de generation normal ainsi que 2 modes de generation exceptionnels comme enveloppe de spheres appartenant a un faisceau quadratique a un parametre. Elles touchent leur enveloppe en tous les points d'un cercle, a l'exception de 2 au maximum. Plus precisement chaque generation exceptionnelle comporte 2 manieres d'envelopper la cyclide selon que le centre de la sphere variable se deplace sur l'une ou l'autre des coniques focales. Les cercles de contact de chaque generation sont les deux familles de cercles de courbures de la cyclide. 

6 - Classification des cyclides generales :

a) la deferente est une sphere : surface de revolution engendree par un ovale de Descartes tournant autour de son axe focal. Le cercle a l'infini est cercle de rebroussement.

b) la deferente est une quadrique sans centre : la cyclide est du 3° degre.

c) la deferente est de revolution : cyclide cartesienne.

d) la deferente est tangente a la sphere directrice (eventuellement reduite a un point) : la cyclique est une podaire de quadrique.

e) la deferente est doublement tangente a la sphere : la cyclide, qui a 2 points doubles, est l'inverse d'un cone quelconque.

f) le cone precedent est de revolution : la cyclide inverse a 4 points doubles : c'est une cyclide de Dupin.

La cyclide de Dupin possede 4 points doubles (I, I' et J, J') situes sur les coniques focales et contient les 4 droites de longueur nulle qui joignent I,I' a J,J'.

7 - Positions relatives de 2 cercles dans l'espace a 3-d / Proprietes paratactiques :

Foyers ou points de Poncelet d'un cercle de l'espace a 3-d : Centres des spheres de rayon nul passant par ce cercle. Ce sont 2 points imaginaires situés sur l'axe du cercle. Les spheres passant parle cercle x²+y² = a², z=0, sont x²+y²+z²-2.h.z+h² = R², si R=0 avec h²=R²-a² => h²=-a² donc h=+ia ou -ia soient deux points imaginaires (0,0,+ia) et (0,0,-ia) dans le complexifie.

Invariants anallagmatiques de 2 cercles : On peut definir pour deux cercles reels, de rayon R1et R2, deux invariants par inversion, liés aux points de Poncelet de chaque cercle (appeles A et B pour l'un et I et J pour l'autre, ces quatre points sont imaginaires).On a AB² = - 4.R1² et IJ² = -4.R2² et on pose d1 = AI . BJ et d2 = AJ . BI. Ces deux nombres reels et positifs sont les carres des modules des distances d'un foyer du premier cercle a un foyer du second.

cos V1 = (d1² + d2²)/ (4.R1.R2) et cos V2 = |d1² - d2²| / (4.R1.R2)

Ces invariants cos V1 et cos V2 permettent d'analyser la position relative de 2 cercles dans l'espace a 3-d :

Cercles aparatactiques ou quelconques : cos V1 >1 et cos V2 < 1 ou cos V1 et cos V2>1

Cercles enlaces (formant un anneau) : cos V1 et cos V2 sont <1 (SSI)

Cercles secants en 1 ou 2 points : cos V1=1 et cos V2 <1, donc d1²+d2² = 4.R1.R2

Cercles tangents en 1 point : cos V1=1 et cos V2 =1

Cercles co-planaires ou co-spheriques mais non secants : cos V1= 1 et cos V2 > 1

Cercles paratactiques : cos V1= cos V2 <1

(C1 et C2 forment un anneau paratactique) Cercles enlacés tels que toute sphere passant par l'un coupe l'autre suivant un angle constant, l'angle de parataxie : ¢=V1=V2.

Sur le tore les cercles de Villarceau (section par des plans bitangent a la cyclide) se repartissent en 2 familles telles que 2 cercles d'une meme famille forment un anneau paratactique.

Anneau orthogonal : cos V1= cos V2 = 0 = IA=IB=JA=JB et d1=d2=0.L'angle de parataxie est egal a Pi/2. Les 2 cercles sont situes dans deux plans perpendiculaires et les points d'intersection sur le diametre commun sont en division harmonique (C,D,E,F) = -1. Un cas limite de l'anneau orthogonal est la figure formee par un cercle et son axe.

Analogie avec le theoreme de Ptolemee relatif au quadrilatere plan inscriptible dans un cercle. Ce theoreme precise que si A,B,I et J sont reels et si IA.JB+IB.JA=IJ.AB les 4 points sont co cycliques. La condition pour que 2 cercles reels aient au moins 1 point commun reel est

d1² + d2² = 4.R1.R2

ou IA.JB + IB.JA = IJ.AB

Ce qui revient a dire que la sphere passant par A,B,I et J est de rayon nul, soit que les cercles sont sur une meme sphere donc que le quadrilatere ABIJ est inscriptible. Dans la deuxieme formule les quantites sont par couple imaginaires conjuguees alors que dans celle de Ptolemee elles sont toutes reelles.

8 - Classification des cyclides de Dupin :

Les cyclides de Dupin se classent en 3 types : anneau (tore deforme), a points doubles (pseudo tore deforme) et un cas limite (cas ou le cercle generateur est tangent a la droite). Le cone et le cylindre circulaire, la sphere et meme le plan peuvent aussi etre consideres commes des cyclides de Dupin (cas limites)

9 - Bibliographie :

G. Darboux : Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques et sur la theorie des imaginaires (Gauthier-Villars 1873)

Maxwell

Cayley

R. Dontot : Parataxies et cyclides (Vuibert 1945).